[3차] BayesianNet(+prob)

불확실성이 있는 명제를 추론하기 위한 확률적 접근법인 베이지안 네트워크(Bayesian Network)에 대해 설명합니다. 그래프 구조를 통한 확률 관계 표현 방식, 계산량 감소 효과, 생성 모델로서의 특성, 그리고 조건부 확률 계산 과정을 실제 예시(도둑과 지진 시나리오)를 통해 단계별로 자세히 다루고 있습니다.

실생활에서 t/f 인지 쉽게 확신할 수 없는 명제가 많다. 이런 불확실성이 있는 명제들은 어떻게 추론할건가?
=> 확률!!

확률 지식은 안다고 가정하고 바로 “베지언 네트워크” 를 자세하게 설명하고 마치겠다.

Bayesian Network

베이지안 네트워크는 그래프로 표현 및 Generative mode(=생성 모델. 예로 GPT) 이다.

구조 예시

사실 1. 도둑이 들 수 있다. (Burglary)
사실 2. 지진이 일어 날 수 있다. (Earthquake)
사실 3. 도둑이 들거나 지진이 일어나면 알람(Alarm)이 울릴 수 있다.
사실 4. 알람이 울리면 John (John)이 알려줄 수 있다.
사실 5. 알람이 울리면 Mary (Mary)가 알려줄 수 있다.
사실 1 에서 5 까지에 이들이 동시에 발생할 확률을 알고 있다.

• Query : John 이 알람이 울렸다고 알려 주었을 때 도둑이 들었을 확률?
  • = P(Burglary | John)

Naïve 하게 계산했으면??

• 만약 P(Burglary) 를 구해야하면 P(A) = P(A ∧ B ∧ C) + P(A ∧ ¬B ∧ C) + P(A ∧ B ∧ ¬C) + P(A ∧ ¬B ∧ ¬C) 처럼 이런 형태로 엄청 많은 계산을 해야함.
• 즉, 총 2^5-1 = 31개 의 Event 경우의 수를 다뤄야 한다.

장점1) 그런데, Bayesian Network의 경우 따져야할 Event수가 확 줄어든다 (31개 -> 10개)

장점2) Generative model : Allows arbitrary queries to be answered 이다.

사용(계산) 과정

John이 Alarm이 왔다고 알려주었는데 도둑이 들었을 확률인 P(Bur|J) 의 값은??

• 우선 알고있는 정보를 정리

  • CPT에 저장된 정보
    P(Bur) = 0.001, P(Ear) = 0.002
    P(Al|Bur, Ear) = 0.95,
    P(Al|Bur, ¬Ear) = 0.94,
    P(Al|¬Bur, Ear) = 0.29,
    P(Al|¬Bur, ¬Ear) = 0.001,
    P(J|Al) = 0.90 P(M|Al) = 0.70,
    P(J|¬Al) = 0.05 P(M|¬Al) = 0.01

• 식 전개

  • P(Bur|J) = P(J|Bur)*P(Bur) / P(J)
    • P(J|Bur), P(J) 가 필요
    • 먼저, P(J)를 구하고나면 P(J|Bur) 도 구하겠다.

• P(J) = ?

  • P(J) = P(J, Al) + P(J, ¬Al) = P(J|Al) P(Al) + P(J|¬Al)P(¬Al)
    • P(Al) 가 필요
    • P(Al) = P(Al, Bur, Ear) + P(Al, Bur, ¬Ear) + P(Al, ¬Bur, Ear) + P(Al, ¬Bur, ¬Ear)
      • P(Al, Bur, Ear) = P(Bur, Ear) * P(Al | Bur, Ear)
        = P(Bur) * P(Ear) * P(Al | Bur, Ear) => 생각해보니 Bur과 Ear 독립이라 바로 곱 가능
        = 0.001 * 0.002 * 0.95
        = 0.0000019
      • P(Al, Bur, ¬Ear) = P(Bur, ¬Ear) * P(Al | Bur, ¬Ear)
        = P(Bur) * P(¬Ear) * P(Al | Bur, ¬Ear)
        = 0.001 * (1.0 - 0.002) * 0.94
        = 0.00093812
      • P(Al, ¬Bur, Ear) = P(¬Bur, Ear) * P(Al | ¬Bur, Ear)
        = P(¬Bur) * P(Ear) * P(Al | ¬Bur, Ear)
        = (1.0 - 0.001) * 0.002 * 0.29
        = 0.00057942 P(Al, ¬Bur, ¬Ear) = P(¬Bur, ¬Ear) * P(Al | ¬Bur, ¬Ear)
        = P(¬Bur) * P(¬Ear) * P(Al | ¬Bur, ¬Ear)
        = (1.0 - 0.001) * (1 - 0.002) * 0.001
        = 0.000997002
      • 0.0000019 + 0.00093812 + 0.00057942 + 0.000997002 = 0.002516442 ≅ 0.0025
  • P(J) = P(J|Al)P(Al) + P(J|¬Al)P(¬Al) = 0.90*0.0025 + 0.05*0.9975 = 0.052

• P(J|Bur) = ?

  • P(J|Bur) = P(J,Bur) / P(Bur) = ... = P(J|Al)*P(Al|Bur)+P(J|¬Al)*P(¬Al|Bur)

  • 자세한 풀이과정은 그림을 참고!!

    

  • P(Al|Bur) 와 P(¬Al|Bur) 가 필요!

  • P(Al|Bur) = ?

    • P(Al|Bur) = 𝑃(𝐴𝑙, 𝐵𝑢𝑟)/𝑃(𝐵𝑢𝑟) = {𝑃(𝐴𝑙, 𝐵𝑢𝑟, 𝐸𝑎𝑟)+𝑃(𝐴𝑙, 𝐵𝑢𝑟, ¬𝐸𝑎𝑟)}/𝑃(𝐵𝑢𝑟)
    • 이미 다 구했던 값으로 구할 수 있기 때문에 계산과정은 생략
  • P(J|Bur) = P(J|Al)*P(Al|Bur)+P(J|¬Al)*P(¬Al|Bur) = 0.849017 ≅ 0.849

최종결과 : P(Bur|J) = 0.849∗0.001 / 0.052 ≅ 0.016